Monte Carlo Method

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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），也称 统计模拟方法 蒙特卡洛方法的理论基础是大数定律。大数定律是描述相当多次数重复试验的结果的定律，在大数定理的保证下:

利用事件发生的 频率 作为事件发生的 概率 的近似值

所以只要设计一个随机试验，使一个事件的概率与某未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似值表示概率，即可求得该未知数的近似值。

样本数量越多，其平均就越趋近于真实值

此种方法可以求解微分方程，求多重积分，求特征值等。

应用举例

假设我们要求解圆周率π，我们可以这样利用Monte Carlo method进行求解。

在一个边长为2的正方形内，随机生成n个矩形内点(x, y)，我们假设落在圆内的点为m个，那么显然π满足：π/4 = m/n，判断点是否在圆内使用与原点距离，这样只要提高n的大小，我们就可以近似求解π。

运用思路

蒙特卡罗方法一般分为三个步骤，包括构造随机的概率的过程，从构造随机概率分布中抽样，求解估计量：

1. 构造随机的概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，要正确描述和模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程了。它的某些参数正好是所要求问题的解，即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。如本例中求圆周率的问题，是一个确定性的问题，需要事先构造一个概率过程，将其转化为随机性问题，即豆子落在圆内的概率，而π就是所要求的解。

2. 从已知概率分布抽样 由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段。如本例中采用的就是最简单、最基本的（0，1）上的均匀分布，而随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

3. 求解估计量 实现模拟实验后，要确定一个随机变量，作为所要求问题的解，即无偏估计。建立估计量，相当于对实验结果进行考察，从而得到问题的解。如求出的近似π就认为是一种无偏估计。

在使用前要计算好什么数据量可以达到什么精度，权衡好精度和求解时间

方法特点

一般情况下，蒙特卡罗算法的特点是，采样越多，越近似最优解，而永远不是最优解。 优点：对于具有统计性质的问题可以直接进行解决，对于连续性的问题也不必进行离散化处理。 缺点： 1、对于确定性问题转化成随机性问题做的估值处理，丧失精确性，得到一个接近准确的N值也不太容易。 2、如果解空间的可能情况很多则很难求解（NP问题） 与穷举法的区别：穷举法是按某特定规则进行搜索，蒙特卡洛方法则是随机搜索，但是两者都是属于盲目搜索

主要用途

求单变量积分

求多变量积分

求期望